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Shallow Water Equations
浅水方程的假设
浅水方程基于以下三个关键假设：
- 水体表面可以被表示为一个高度场：水面形状的描述采用二维标量场，简化为高度的变化。
- 忽略水体粒子在垂直方向上的速度分量：假设水的运动主要集中在水平面上，垂直运动的影响较小。
- 垂直水柱中的水平速度近似恒定：水柱顶部和底部的水平速度差异可以忽略，从而将水柱视为刚性体在水平面上的运动。
一维浅水方程
- 水体表面的高度：
- 地面高度：
- 水柱深度：
- 垂直水柱的水平速度：
从欧拉视角出发，考虑不可压缩、无粘性的流体，其运动遵循Navier-Stokes方程：
同时，不可压缩条件为：
在浅水方程的假设下，简化得到一维情况下的方程：
- 动量守恒方程：
- 质量守恒方程：
综上，一维浅水方程可写为：
简化一维浅水方程
如果水流速度较小且水深变化缓慢，可以忽略高阶非线性项，从而得到简化形式：
推导
进一步处理，对第一个式子关于求偏导数，对第二个式子关于求偏导数，结合可得波动方程
离散一维浅水方程
为了数值求解，我们需要将连续偏微分方程离散化。两种常用技术为：
- 有限差分法：使用样本点来近似连续函数。
- 有限元法：用基函数的线性组合近似连续函数。
基于浅水方程的高度场描述，有限差分法具有较高的稳定性和效率。在离散场中，假设速度 的采样点位于高度 的采样点中间。经过有限差分近似实验，稳定版本为：
- 动量方程离散化：
- 质量方程离散化：
其中， 是样本沿 x 方向的距离。 将上述两个等式相加，我们得到
- Author:LeoTovey
- URL:https://www.leotovey.blog/article/15df32ef-fee5-80ef-8444-f238a18ff071
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